物理のノート
公式類>微分方程式の解法
関数の連続性と微分可能性
区間$I$で定義された関数$f(x)$がある.
点$a\in I$に対して,
\begin{equation}
\lim_{x\to a} f(x)=f(a)
\end{equation}
が成り立つとき, $f(x)$は$a$で連続である, という.
$\varepsilon-\delta$論法では, 任意の$\varepsilon \gt 0$に対して, ある$\delta\gt 0$を適当にとることで, $0\lt x-a \lt\delta$をみたす, すべての$x\in I$に対して$|f(x)-f(a)|\lt\varepsilon$が成り立つようにできる, と表される.
一方, 関数$y=f(x)$の平均変化率$\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$において, $h=\Delta x$を$0$に近づける極限を考える.
$a+h=x$と表し,
\begin{equation}
\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\
=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\
=\lim_{x\to a} \frac{f(a+h)-f(a)}{x-a}\
\end{equation}
が存在するとき, $f(x)$は$a$において微分可能である, という.
その極限値を$f'(a)$と書き, 「$f(x)$の$a$における微分係数」と呼ぶ.
[定理] 関数$y=f(x)$が$a$で微分可能ならば, $a$で連続である.
[証明]
連続性の定義$(1)$にしたがって,$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$が成り立つかどうか確かめる.
\begin{equation}
\lim_{x\to a} (f(x)-f(a))=\lim_{x\to a} \left\lbrace\frac{f(a+h)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)\right\rbrace\\
=\lim_{x\to a} \frac{f(a+h)-f(a)}{x-a}\cdot \lim_{x\to a}(x-a) \
=f'(a)\cdot 0 = 0
\end{equation}
ゆえに, 定理が証明された.
微分可能な関数は連続である.
しかし, 連続な関数は微分可能とは限らない.
たとえば, $y=|x|$は$x=0$で連続であるが, $x=0$で微分可能ではない.
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