物理のノート
公式類>微分方程式の解法>線形（重ね合わせの原理）
線形性
2階線形常微分方程式
\begin{equation}
a_1 \frac{d^2}{dx^2}f(t) +a_2\frac{d}{dx}f(t)+a_3f(t)=g(t),\\
a_1 f^{''} +a_2 f^{'}+a_3 f=g.
\end{equation}
において, $g_1(t)$, $g_2(t)$とした場合の解をそれぞれ$f_1(t)$, $f_2(t)$とする.
このとき,
\begin{equation}
g(t)=b_1 g_1(t)+b_2 g_2(t)
\end{equation}
の解は,次のようになる.
\begin{equation}
f(t)=b_1 f_1(t)+b_2 f_2(t)
\end{equation}
すなわち, 2つの解の一次結合が解になる. このようにいくつかの解を重ね合わせて新しい解を作ること（重ね合わせの原理という）ができる性質を有することを線形性と呼ぶ. また, この線形性を備えた系を線形システムと称する.
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