物理のノート

行列

行列の固有値と固有ベクトル

$A=(a_{ij})$を$n$次の正方行列とするとき, \[ A\pmb x=\lambda \pmb x \] を満たす$\lambda$および,ベクトル$\pmb x\ne \pmb o$が存在するならば, $\lambda$を行列$A$の固有値という(一般的には,複素数である).
また,$\pmb x$を$\lambda$に対する固有ベクトルと呼ぶ.

固有方程式

\begin{equation} p_n(\lambda)=\lvert A-\lambda I\rvert \\ = \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots &\dots & \dots \\ a_{n1} &\dots & \dots & a_{nn}-\lambda\\ \end{vmatrix} \\ =(-1)^n \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} +\dots +a_{n-1}\lambda+a_n \end{equation} (1)式を$A$の固有多項式という.
$I$は単位行列である. \[ I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} \] なお,行列を囲む記号()(parenthesis：パーレン)は, \[ I= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix} \] のように[]（bracket：ブラケット）でも表される.本サイトでは、基本的にパーレン表記とする.

さてさらに, \begin{equation} p_n(\lambda)=(-1)^n \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} +\dots +a_{n-1}\lambda+a_n=0 \end{equation} を固有方程式という.
$A$の固有値は,(2)式の固有方程式の根と一致する（$n$個の根を有する）.

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