物理のノート
公式類>フーリエ解析
ガウスの積分公式（Integral of Gaussian）
[>>>ガウス分布のフーリエ変換]
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{equation}
を導出する.
まず,
\begin{equation}
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx
\end{equation}
と置くと,これは$x$軸についてのガウス関数の積分である.次に,３次元空間に拡張して考えて,(2)式が$y$軸におけるガウス関数の積分とすると,
\begin{equation}
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ay^2}dy
\end{equation}
となる.
(2)(3)式の両辺をかけて, $x,y$軸に関する二重積分を行う.
\begin{equation}
I^2=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}e^{-ay^2}dxdy\\
=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x^2+y^2)}dxdy
\end{equation}
(4)式を極座標形式に書き改める.すなわち, $x^2+y^2=r^2$,$dx dy=2\pi r dr$より,
\begin{equation}
I^2=\int_{0}^{\infty} e^{-a r^2} 2\pi r dr\\
=2\pi \int_{0}^{\infty} re^{-a r^2}dr\\
=2\pi \int_{0}^{\infty} (r dr) e^{-a r^2}\\
=\pi \int_{0}^{\infty} d(r^2) e^{-a r^2}\\
=\pi\left[-\frac{1}{a}e^{-a r^2}\right]_{0}^{\infty}\\
=\pi \left\lbrace \left[-\frac{1}{a}e^{-a \infty^2}\right]-\left[-\frac{1}{a}e^{-a 0^2}\right]\right\rbrace\\
=\pi \left\lbrace 0- \left( -\frac{1}{a}\right)\right\rbrace\\
=\frac{\pi}{a}
\end{equation}
両辺の平方根を取り($I \geq 0$),
\begin{equation}
I=\sqrt {\frac{\pi}{a}}.
\end{equation}
[参考図]$y=e^{-x}$
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
data_x = np.linspace(-3,2,30)
data_y = np.exp( - data_x)
plt.plot(data_x,data_y, linewidth=2, color='black')
plt.show()
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