物理のノート

公式類>フーリエ解析

ガウス分布のフーリエ変換

正規分布（ガウス分布, ガウスの正規分布関数, Gaussian Distribution）は次のように表される.平均は$\mu$,分散は$\sigma^2$とする. \begin{equation} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\lbrace -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\rbrace . \end{equation} 釣鐘状の周期的ではない（＝非周期）関数である.

$\mu=0$,$\sigma^2=1$のとき, 標準正規分布という.すなわち \begin{equation} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left[-\frac{x^2}{2}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}. \end{equation} (2)式を次のようにみなして,ガウス関数と呼ぶことにする. \begin{equation} f(x)=\exp[-ax^2]=e^{-ax^2}. \end{equation} 下図は,$a=1$の場合のグラフである（Canopyで描画した. 入力したソースコードをグラフの下に記す）.


import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
a = 1
data_x = np.linspace(-10,10,100)
data_y = np.exp( - (a * (data_x **2 )))
plt.plot(data_x,data_y, linewidth=2, color='black')
plt.show()

さて(3)式のガウス関数に対する次の積分を, ガウスの積分公式と呼ぶ. \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}. \end{equation} これを利用しつつ, フーリエ変換の定義にしたがって,(3)式をフーリエ変換する. \begin{equation} F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}dx\\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}e^{-i\omega x}dx\\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2-i\omega x}dx. \end{equation} (5)式の両辺を$\frac{d}{d\omega}$で微分する.ここで,微分と積分の順序は交換可能とする. \begin{equation} \frac{d}{d\omega}F(\omega)=\frac{d}{d\omega}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2-i\omega x}dx\right)\\ =\frac{d}{d\omega}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}e^{-i\omega x}dx\right)\\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\left(\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega x}\right)dx \qquad\text{##微分と積分の順序を交換}\\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}(-ix)e^{-i\omega x}dx\\ =-i \int_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{1}{2a}\right)\left(\frac{d}{dx}e^{-ax^2}\right)e^{-i\omega x}dx\\ =\frac{i}{2a}\left[ e^{-ax^2}e^{-i\omega x}\right]_{-\infty}^{\infty}-\frac{i}{2a}(-i\omega)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}e^{-i\omega x}dx \qquad\text{##部分積分法}\\ =-\frac{\omega}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}e^{-i\omega x}dx\\ = -\frac{\omega}{2a}F(\omega) \end{equation} ゆえに,次の一階常微分方程式が得られる. \begin{equation} \frac{d}{d\omega}F(\omega)+\frac{\omega}{2a}F(\omega)=0. \end{equation} 変数分離法で一般解を求めるために,この式を変形する. \[ \frac{F(\omega)^{'}}{F(\omega)}=-\frac{\omega}{2a} \] 両辺を$\omega$について積分すると一般解が導かれる. \begin{equation} \int \frac{F(\omega)^{'}}{F(\omega)} d\omega= \int -\frac{\omega}{2a}d\omega,\\ \log F(\omega)=-\frac{\omega^2}{4a}+C^{'},\\ F(\omega)=e^{-\frac{\omega^2}{4a}+C^{'}}=C e^{-\frac{\omega^2}{4a}}.\\ C=e^{C^{'}}. \end{equation} 次に任意定数$C$を求める.まず, \[ F(0)=Ce^0=C \] である.また, フーリエ変換後の(5)式と,ガウスの積分公式(4)より,任意定数$C$は次のようになる. \begin{equation} F(0)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2-0}dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}. \end{equation} (8)式に$C$を代入すると,ガウス関数$f(x)=e^{-ax^2}$のフーリエ変換が得られる. \begin{equation} F(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}. \end{equation} 下図は, フーリエ変換したガウス関数（$a=1$）のグラフである.


import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
a = 1
data_x = np.linspace(-20,20,100)
data_y = np.sqrt(np.pi/a) * np.exp( - ((data_x **2) /(4 * a)))
plt.plot(data_x,data_y, linewidth=2, color='blue')
plt.show()

釣鐘型のガウス関数をフーリエ変換すると,同じく釣鐘型になった.

ガウス関数および, フーリエ変換したガウス関数のグラフを重ねて表示する（$a=1$の場合）.それぞれ上記同様に,黒と青の線で示している.

$a=0.1$の場合は次のようになる.

$a=1$,$a=0.1$のグラフをすべて重ねてみると,

ガウス関数の$a$の値が小さくなる（$1\rightarrow 0.1$）ほど（釣鐘の裾が広がるほど）, フーリエ変換したガウス関数の幅は狭くなり,高くなる様子がみられる.

このことは, 量子力学における不確定性原理, 例えば座標と運動量にも関係する（という）.

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