物理のノート
フーリエ解析
フーリエ級数展開に関する公式
周期関数のフーリエ級数展開
\begin{equation}
f(x)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x+ \dots +a_n\cos nx \\
+\dots +b_1\sin x+b_2\sin 2x +b_3\sin 3x+\dots +b_n\sin nx+ \dots \\
= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx +b_n\sin nx)
\end{equation}
フーリエ級数の各フーリエ係数
フーリエ級数$(1)$式の各項の係数（フーリエ係数）$a_0$, $a_n$, $b_n$は次の公式で示される.
＊ 基本波形の周期は有限（$2\pi$）である.
＊ フーリエ係数は, 「実」フーリエ係数である（後述する複素フーリエ係数ではない）.
\begin{equation}
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x)dx
\end{equation}
\begin{equation}
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x)\cos nx dx
\end{equation}
\begin{equation}
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x)\sin nx dx \qquad (n=1,2,3 \dots )
\end{equation}
方形波（矩形波）のフーリエ係数
デジタル信号で用いられる基本波形は, 「凹凸」の形をする方形波（矩形波）である. 方形波の高さ（振幅）が$1$, $0$であれば, 2値を表現することができる。この場合, 時間軸に沿って波形が$1$, または$0$をとる時間的間隔を周期$T$とする.
ここで, 式(1)-(4)に含まれる$x$（軸）を時間$t$（軸）, 周期$2\pi$を$T$に置き換える.
\[
2\pi : x = T : t,\\
Tx=2\pi t,\\
x=\frac{2\pi}{T}t=\omega t,\\
dx=\frac{2\pi}{T}dt
\]
ゆえに, 時間$t$の関数$f(t)$のフーリエ級数展開は次のように示される.
\begin{equation}
f(t)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos \omega t+a_2\cos 2\omega t+a_3\cos 3\omega t+ \dots +a_n\cos n\omega t \\
+\dots +b_1\sin \omega t+b_2\sin 2\omega t +b_3\sin 3\omega t+\dots +b_n\sin n\omega t+ \dots \\
= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos n\omega t +b_n\sin n\omega t)
\end{equation}
各フーリエ係数は,次のように書き換えられる.
\begin{equation}
a_0=\frac{1}{\pi} \frac{2\pi}{T} \int_{0}^{T} f(t)dt \\
=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)dt
\end{equation}
\begin{equation}
a_n=\frac{1}{\pi} \frac{2\pi}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos \frac{2\pi n}{T}t dt \\
=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos n\omega t dt
\end{equation}
\begin{equation}
b_n=\frac{1}{\pi} \frac{2\pi}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin \frac{2\pi n}{T}t dt \\
=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin n\omega t dt \qquad (n=1,2,3 \dots )
\end{equation}
複素フーリエ級数および, その係数
時間$t$の関数$f(t)$のフーリエ級数展開は（5）のように示された.
これに以下の式を代入する.（>>> 三角関数と複素数）
\begin{equation}
\cos n\omega t=\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}, \\
\sin n\omega t=\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i}
\end{equation}
(５)の右辺は次式に変換される.
\begin{equation}
f(t)= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{in\omega t} +\frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-in\omega t}\right)
\end{equation}
ここで, 上式に含まれる係数を複素フーリエ係数と呼び, 次のように定義する.
\begin{equation}
c_0=\frac{a_0}{2},\\
c_n=\frac{(a_n-ib_n)}{2},\\
c_{-n}=c_n^*=\frac{(a_n+ib_n)}{2}. \qquad \text{n=1,2,3,}\dots
\end{equation}
これらの式を整理すると,以下のようになり, これを複素フーリエ級数と呼ぶ.
\begin{equation}
f(t)= \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\omega t}
\end{equation}
式(1)と比較すると, 整数$n$の範囲に, $-\infty \leqq n<0$が加わっている.
なお, 上式から次式（複素フーリエ係数$c_n$）が得られる.
\begin{equation}
c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega t}dt, \\
c_{-n}=c_n^*=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{in\omega t}dt, \\
\end{equation}
[複素フーリエ係数$c_n$を求める際の考え方]
式(12)の両辺に, $e^{-im\omega t}$を掛ける（$m=0, \pm1, \pm2, \dots$, すなわち$\lvert \infty \rvert >m$）.
\begin{equation}
f(t)e^{-im\omega t}= \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\omega t} e^{-im\omega t}= \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i(n-m)\omega t}
\end{equation}
両辺を$-\pi=-\frac{T}{2}$から$\pi=\frac{T}{2}$まで積分する.
\begin{equation}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-im\omega t}dt= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-i(n-m)\omega t}dt
\end{equation}
両辺を$m$（$m=0, \pm1, \pm2, \dots$）について和をとる.
\begin{equation}
\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-im\omega t}dt = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-i(n-m)\omega t} dt
\end{equation}
上式(16)右辺の積分の部分のみを取り出し, オイラーの公式を用いて次のように変形する.
\begin{equation}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-i(m-n)\omega t} dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left( \cos[(m-n)\omega t]-i\sin[(m-n)\omega t]\right)dt\\
=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos(m-n)\omega t dt - \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} i\sin(m-n)\omega t dt \\
=[\sin(m-n)\omega t]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}-i[-\cos(m-n)\omega t]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}
\end{equation}
式(17)において,$m=n$の時には,
\[
\cos(m-m)\omega t=\cos 0=1,\\
i\sin(m-m)\omega t=i\sin 0=0.
\]
すなわち,
\[
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos(m-n)\omega t dt - \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} i\sin(m-n)\omega t dt\\
=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} dt \\
=[t]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}=T(=2\pi).
\]
となる.
一方, $m \ne n$の時には,
\[
[\sin(m-n)\omega t]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}=\sin \pi - \sin(-\pi)=0-0=0, \\
[-\cos(m-n)\omega t]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}=-\cos \pi -\cos (-\pi)=-1-(-1)=0.
\]
そこで,
\[
\delta_{mn}=\binom{0}{1}
\]
ただし, $m \ne n$の時, $\delta_{mn}=0$,
$m = n$の時, $\delta_{mn}=1$ となる$\delta_{mn}$（クロネッカーのデルタ）を用いて書き改めると,
\[
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-im\omega t}dt =c_n T\delta_{mn}.
\]
さらに$c_n$が左辺に来るように両辺を整理することで
\begin{equation}
c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-im\omega t}dt
\end{equation}
式(13)が導出された.
index.htmlに戻る