物理のノート
複素解析
複素数
複素数$z_n$を, 実数部分$a_n$と虚数部分$ib_n$の和（線形結合）で表す.
\[
z_n=a_n+ ib_n
\]
ここで, 虚数部分の符号を変えた以下の$z_{-n}=z^*$を共役複素数（きょうやくふくそすう）と呼ぶ.
\[
z_{-n}=z^*=a_n -ib_n
\]
$z^*$は$\bar{z}$とも記される.
複素数と共役複素数は互いに共役な複素数と呼び, 次の関係を満たす.
\[
z_n+z^*=2a_n, \\
z_n*z^*=\lvert z_n \rvert ^2=(a_n+ib_n)(a_n-ib_n)=a_n^2 +b_n^2, \\
a_n=\frac{z_n+z_n^*}{2}, \\
b_n=\frac{z_n-z_n^*}{2i}, \\
z_n=\frac{z_n-z_n^*}{2}-ib_n \\
\]
三角関数と複素数
オイラーの公式は, 数学者L.Euler（1707-83）の名が冠された公式であり, 三角関数と複素数（虚数と実数の線型結合で表される式）, および自然対数を橋渡しすることで, 相互の関連性を示す.
\[
e^{i\theta}=\cos\theta + i\,\sin\theta \qquad
\]
証明には、$e^{i\theta}$, $\cos\theta$, $\sin\theta$のテイラー展開を用いる.
\[
e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} \\
=1 + i\theta -\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}- \dots
\]
\[
\sin \theta=1 -\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}- \dots
\]
\[
\cos\theta=i\theta -i\frac{\theta^3}{3!}+i\frac{\theta^5}{5!}- \dots
\]
オイラーの公式を変形すると, 複素指数関数$e^{\pm ix}$と$\sin\theta$, $\cos\theta$の関係が次のようにも表せる.
\[
e^{-i\theta}=\cos\theta - i\,\sin\theta, \\
\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \\
\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
\]
>>> フーリエ級数展開およびフーリエ変換に関する公式 > 複素フーリエ級数および, その係数
ところで,
\[
\frac{d}{d\theta} \sin\theta=\cos\theta, \\
\frac{d}{d\theta} \cos\theta=-\sin\theta,\\
\frac{d}{d\theta} (-\sin\theta)=-\cos\theta,\\
\frac{d}{d\theta} \cos\theta=\sin\theta.\\
\]
また,虚数$i$について
\[
1i=i,\\
ii=-1, \\
-1i=-i,\\
(-i)i=1.
\]
これらを見比べると, $\sin \theta$や$\cos\theta$を微分する, 言い換えると$\frac{d}{d\theta}$を作用させること（微分演算子（作用素））とは, 虚数$i$を実数$1$にかける操作と比較すると, "4回操作で元に戻る"という点で
同等の周期性がある. すると, 虚数$i$も演算子の一種, と見なすことができる. このことを以下のように表す.
\[
\frac{d}{d\theta}=i\omega
\]
また,
\[
\int d\theta=\frac{1}{i\omega}
\]
電磁気の界隈では, 虚数$i$と電流$i$の見分けがつくようにするため, 虚数は$j$と表すのが習慣である. したがって,
\[
\frac{d}{d\theta}=j\omega
\]
\[
\int d\theta=\frac{1}{j\omega}
\]
となる. もとより, 変数$\theta$は, $x$,$t$など任意の文字で置き換えられる.
\[
\frac{d}{dt}=j\omega
\]
\[
\int dt=\frac{1}{j\omega}.
\]
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