物理のノート
フーリエ解析
ラプラス変換
$f(t)$を$F(s)$に移す変換をラプラス変換と呼び, 記号$\mathcal{L}$（$L$）を用いて, 次のように定義する.
\[
\mathcal{L}[f(t)]= F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt \\
=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt
\]
$f(t)$:原関数（連続で指数位数である一価の関数）, $F(s)$:像関数, $s$:複素数, $t$:実変数, $e^{-st}$:ラプラス変換の核
指数位数であるf(t)とは, 次の条件を満たしている関数である.
\[
\lvert f(t) \rvert < Me^{at}
\]
または,
\[
e^{-at} \lvert f(t) \rvert < M
\]
ラプラス変換における積分の下限は, 初期値$0$から始まる点がフーリエ変換とは異なる.
---> フーリエ変換
そのため, 時間が$0$から$\infty$までを取り扱う, 線形微分方程式の初期値問題の解法において役立つ. （フーリエ解析では, 時間が$-\infty$から$\infty$までを扱う）
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