物理のノート
フーリエ解析
非周期関数のフーリエ変換
周期$T$の基本波形は$T$秒おきに同じ波形が繰り返すが, 孤立した波形もある. 例えばパルス波は, デルタ関数と呼ばれる超関数の一種で記述される.
このような周期性のない波形を非周期関数という（これに対して, 周期性を持つ関数を周期関数と呼ぶ）.
非周期関数は, 周期$T$$\rightarrow$$\infty$, すなわち「周期が無限に長くなった（繰り返し）波形」と見なす（波長が無限長なので, 繰り返しはないと捉える）.
関数$f(x)$のフーリエ変換は, 次のように定義する.
\[
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}dx
\]
$x$を時間$t$とすると, 右辺は時間的な（＝時間に着目した）積分である.[>>>畳み込み積分]
[>>>ガウス分布のフーリエ変換]
[>>>方形パルスのフーリエ変換]
フーリエ変換の逆変換
逆フーリエ変換は, フーリエ変換を変形して次のように定義する.
\[
f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega x}d\omega
\]
$\omega=2\pi f$であることから, 右辺は周波数的な（周波数に着目した）積分である.[>>>畳み込み積分]
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