物理のノート
逆行列
逆行列の定義
逆行列は,行列式と
余因子（Cofactor）を用いて定義される.
余因子（Cofactor）は,
小行列を用いて,次のように定義される.
\begin{equation}
C_{i,j}=(-1)^{i+j}\Delta_{i,j}
\end{equation}
さて,次のような$2\times2$の正方行列$A$を例にする.
\begin{equation}
A=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation}
この逆行列$A^{-1}$は余因子を用いて次のように計算される.
\begin{equation}
A^{-1}=
\frac{1}{\lvert A \rvert }
\begin{pmatrix}
C_{1,1} & C_{2,1}\\
C_{1,2} & C_{2,2}
\end{pmatrix}
=\frac{1}{\lvert A \rvert }
\begin{pmatrix}
(-1)^{1+1}\Delta_{1,1} & (-1)^{2+1}\Delta_{2,1}\\
(-1)^{1+2}\Delta_{1,2} & (-1)^{2+2}\Delta_{2,2}
\end{pmatrix}
=\frac{1}{ad-bc }
\begin{pmatrix}
d & (-1)b\\
(-1)c & a
\end{pmatrix}\\
=\frac{1}{ad-bc }
\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}
\end{equation}
この計算式が示すように,逆行列が存在するには, 行列式$\lvert A \rvert=ad-bc \ne 0$が条件となる.
同様に,$3\times3$正方行列$A$の逆行列$A^{-1}$は余因子を用いて次のように表される.
\begin{equation}
A^{-1}=
\frac{1}{\lvert A \rvert }
\begin{pmatrix}
C_{1,1} & C_{2,1} & C_{3,1}\\
C_{1,2} & C_{2,2} & C_{3,2}\\
C_{1,3} & C_{2,3} & C_{3,3}
\end{pmatrix}
=\frac{1}{\lvert A \rvert }
\begin{pmatrix}
(-1)^{1+1}\Delta_{1,1} & (-1)^{2+1}\Delta_{2,1} & (-1)^{3+1}\Delta_{3,1}\\
(-1)^{1+2}\Delta_{1,2} & (-1)^{2+2}\Delta_{2,2} & (-1)^{3+2}\Delta_{3,2}\\
(-1)^{1+3}\Delta_{1,3} & (-1)^{2+3}\Delta_{2,3} & (-1)^{3+3}\Delta_{3,3}
\end{pmatrix}
\\
=\frac{1}{\lvert A \rvert }
\begin{pmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,2} & a_{3,3}
\end{vmatrix}
&
-
\begin{vmatrix}
a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{3,2} & a_{3,3}
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,2} & a_{2,3}
\end{vmatrix}
\\
-
\begin{vmatrix}
a_{2,1} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,3}
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,3} \\
a_{3,1} & a_{3,3}
\end{vmatrix}
&
-
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,3}
\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
a_{2,1} & a_{2,2} \\
a_{3,1} & a_{3,2}
\end{vmatrix}
&
-
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{3,1} & a_{3,2}
\end{vmatrix}
&
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{vmatrix}
\end{pmatrix}
\end{equation}
さて,行列と逆行列には次の関係がある.
\begin{equation}
A A^{-1}=I
\end{equation}
$I$は対角要素のみ$1$でその他は$0$が並ぶ単位行列である.
上述の$2\times2$行列を例に計算してみる.
\begin{equation}
A A^{-1}=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\frac{1}{ad-bc }
\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}
=\frac{1}{ad-bc }
\begin{pmatrix}
ad-bc & -ab+ab\\
cd-cd & -bc+ad
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
=I
\end{equation}
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