物理のノート

行列

小行列式

次のような$2\times2$行列を考える. \begin{equation} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{equation} ここで,この行列の要素$c$に着目する.
$c$は,この行列の2行目と1列目が交差するところに位置する.
そこで,この行列の2行目と1列目を消去すると,要素$b$が残る. このことを,次のように呼ぶ.
$c$のマイナー（minor）は, \begin{equation} \Delta_{2,1}=b \end{equation} である.

$3\times3$行列の場合は次のようになる. \begin{equation} A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2}& a_{3,3} \end{pmatrix} \end{equation} ここで,この行列の要素$a_{2,3}$に着目する.
$a_{2,3}$は,この行列の2行目と3列目が交差するところに位置する.
そこで,この行列の2行目と3列目を消去すると,次のような要素を持つ行列式が残る,とする.
すなわち$a_{2,3}$のマイナー（minor）は, \begin{equation} \Delta_{2,3}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} \end{equation} と呼び,この行列式を小行列式（minor of a matrix）と呼ぶ.

余因子

余因子（Cofactor）は, 次のように定義される. \begin{equation} C_{i,j}=(-1)^{i+j}\Delta_{i,j} \end{equation}

小行列式と余因子を用いた行列式の計算

$n \times n$行列$A$の行列式$\lvert A \rvert$は,小行列式と余因子を用いて,次のように定義される.
$i$行目を利用して求める場合, \begin{equation} \lvert A \rvert= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n}\\ \dots & \dots &\dots & \dots \\ a_{n,1} &\dots & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}\\ =a_{i,1}C_{i,1} +a_{i,2}C_{i,2} +a_{i,3}C_{i,3}\dots +a_{i,n}C_{i,n} \\ =a_{i,1}(-1)^{i+1} \Delta_{i,1} +a_{i,2}(-1)^{i+2} \Delta_{i,2} +a_{i,3}(-1)^{i+3} \Delta_{i,3}\dots +a_{i,n}(-1)^{i+n} \Delta_{i,n} . \end{equation} 他方,$j$列目を利用して求める場合, \begin{equation} \lvert A \rvert =a_{1,j}C_{1,j} +a_{2,j}C_{2,j} +a_{3,j}C_{3,j}\dots +a_{n,j}C_{n,j} \\ =a_{1,j}(-1)^{1+j} \Delta_{1,j} +a_{2,j}(-1)^{2+j} \Delta_{2,j} +a_{3,j}(-1)^{3+j} \Delta_{3,j}\dots +a_{n,j}(-1)^{n+j} \Delta_{n,j} . \end{equation}

(1)$2 \times 2$行列における行列式の計算

$2\times2$行列$A$の行列式$\lvert A \rvert$は,$1$行目に着目すると,(6)式より, \begin{equation} \lvert A \rvert= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix}\\ =a_{1,1}(-1)^{1+1} \Delta_{1,1} +a_{1,2}(-1)^{1+2} \Delta_{1,2}\\ =a_{1,1} a_{2,2} -a_{1,2} a_{2,1} \end{equation} ここで, \begin{equation} A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{equation} とすると,(8)式より, \begin{equation} \lvert A \rvert=ad-bc \end{equation} 他方,$1$列目に着目した場合は,(7)式より, \begin{equation} \lvert A \rvert= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix}\\ =a_{1,1}(-1)^{1+1} \Delta_{1,1} +a_{2,1}(-1)^{2+1} \Delta_{2,1} \\ =a_{1,1} a_{2,2} -a_{2,1} a_{1,2}\\ =ad-cb=ad-bc \end{equation} となり,(10)式と一致する.

(2)$3 \times 3$行列における行列式の計算

$3\times3$行列$A$の行列式$\lvert A \rvert$は,1行目に着目すると,(8)式より, \begin{equation} \lvert A \rvert= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix}\\ =a_{1,1}(-1)^{1+1} \Delta_{1,1} +a_{1,2}(-1)^{1+2} \Delta_{1,2}+a_{1,3}(-1)^{1+3} \Delta_{1,3}\\ \end{equation} ここで, \begin{equation} \Delta_{1,1}= \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\\ =a_{2,2}(-1)^{1+1} \Delta_{2,2} +a_{2,3}(-1)^{1+2} \Delta_{2,3} \\ =a_{2,2} a_{3,3} -a_{2,3} a_{3,2} \end{equation} \begin{equation} \Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix}\\ =a_{2,1}(-1)^{1+1} \Delta_{2,1} +a_{2,3}(-1)^{1+2} \Delta_{2,3} \\ =a_{2,1} a_{3,3} -a_{2,3} a_{3,1} \end{equation} \begin{equation} \Delta_{1,3}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix}\\ =a_{2,1}(-1)^{1+1} \Delta_{2,1} +a_{2,2}(-1)^{1+2} \Delta_{2,2} \\ =a_{2,1} a_{3,2} -a_{2,2} a_{3,1} \end{equation} より,(14)式は \begin{equation} \lvert A \rvert= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix}\\ =a_{1,1}(-1)^{1+1} \Delta_{1,1} +a_{1,2}(-1)^{1+2} \Delta_{1,2}+a_{1,3}(-1)^{1+3} \Delta_{1,3}\\ =a_{1,1}(a_{2,2} a_{3,3} -a_{2,3} a_{3,2}) -a_{1,2}(a_{2,1} a_{3,3} -a_{2,3} a_{3,1})+a_{1,3}(a_{2,1} a_{3,2} -a_{2,2} a_{3,1})\\ =a_{1,1}a_{2,2} a_{3,3} -a_{1,1}a_{2,3} a_{3,2} -a_{1,2}a_{2,1} a_{3,3} +a_{1,2}a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1} a_{3,2} -a_{1,3}a_{2,2} a_{3,1}\\ =a_{1,1}a_{2,2} a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1} a_{3,2} -a_{1,1}a_{2,3} a_{3,2} -a_{1,2}a_{2,1} a_{3,3} -a_{1,3}a_{2,2} a_{3,1}\\ =a_{1,1}a_{2,2} a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1} a_{3,2} -(a_{1,1}a_{2,3} a_{3,2} +a_{1,2}a_{2,1} a_{3,3} +a_{1,3}a_{2,2} a_{3,1}). \end{equation} これは,ベクトル解析の公式を思い起こさせる行列式の計算である. \begin{equation} \text{rot } \pmb A=\nabla\times \pmb A= \begin{vmatrix} \pmb i &\pmb j &\pmb k\\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\ A_x &A_y &A_z \end{vmatrix} \end{equation} \begin{equation} \text{rot }\pmb A =\nabla\times \pmb A \equiv \left( \frac{\partial A_z}{\partial y}\pmb i - \frac{\partial A_y}{\partial z}\pmb i, \frac{\partial A_x}{\partial z}\pmb j - \frac{\partial A_z}{\partial x}\pmb j,\frac{\partial A_y}{\partial x}\pmb k-\frac{\partial A_x}{\partial y}\pmb k\right) \qquad（\text{rot}は, rotation（回転）の意味で,\text{curl}, \nabla \timesとも書かれる） \end{equation}

上三角型の行列式

\begin{equation} \lvert A \rvert= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3}\\ 0 & 0 & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} \end{equation} という上三角型の$3\times 3$行列式の場合は,(16)式より, \begin{equation} \lvert A \rvert=a_{1,1}a_{2,2} a_{3,3}+0 a_{2,3} a_{1,2}+0 0 a_{1,3} -(a_{1,1}a_{2,3} 0 +a_{1,2}0 a_{3,3} +a_{1,3}a_{2,2} 0)\\ =a_{1,1}a_{2,2} a_{3,3} \end{equation} と,対角要素の積になる.
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