物理のノート
ベクトル解析の公式
直角座標
\begin{equation}
\text{div }\pmb E =\nabla\cdot \pmb E\equiv \frac{\partial E_x}{\partial x}+ \frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z} \qquad（\text{div}は, divergence（発散）の意味で, \nabla \cdotとも書かれる）
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta \phi =\nabla ^2 \phi\equiv \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \qquad（記号\Deltaは, \nabla^2とも書かれ, ラプラシアン（Laplacian）と読む）
\end{equation}
\begin{equation}
\text{grad }\phi =\nabla\phi \equiv \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) \qquad（\text{grad}(=gradient)は, \nabla（nabla）とも書かれる）
\end{equation}
\begin{equation}
\text{rot }\pmb A =\nabla\times \pmb A \equiv \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \qquad（\text{rot}は, rotation（回転）の意味で,\text{curl}, \nabla \timesとも書かれる）
\end{equation}
\begin{equation}
\text{rot } \pmb A=\nabla\times \pmb A=
\begin{vmatrix}
\pmb i &\pmb j &\pmb k\\
\frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\
A_x &A_y &A_z
\end{vmatrix}
\end{equation}
[>>>
3×3行列における行列式の計算]
上記の演算子の間には, 次の
恒等式（ベクトル恒等式）が成立する.
\begin{equation}
\text{div rot }\pmb A=\nabla \cdot (\nabla \times \pmb A)=0, \qquad
\end{equation}
\begin{equation}
\text{rot grad }\phi=\nabla \times (\nabla \phi)=0, \phantom{}
\end{equation}
\begin{equation}
\text{rot rot } \pmb A=\nabla\times(\nabla\times \pmb A)=\text{grad div }\pmb A-\Delta\pmb A=\nabla(\nabla\cdot \pmb A)-\nabla^2\pmb A.
\end{equation}
記号$\times$（クロス積）, $\cdot$（ドット積）を用いるベクトル解析の公式
\begin{equation}
\text{grad}(f\pmb A)=\pmb A \times\text{grad }f + f\text{div }\pmb A,
\end{equation}
\begin{equation}
\text{rot }(f\pmb A)=\text{grad }f × \pmb A + f\text{rot }\pmb A,
\end{equation}
\begin{equation}
\text{div}(\pmb A \times \pmb B)=\pmb B \cdot\text{rot }\pmb A - \pmb A \cdot\text{rot }\pmb B,
\end{equation}
\begin{equation}
\text{rot}(\pmb A \times \pmb B)=\pmb A\text{div }\pmb B - \pmb B \text{div }\pmb A + (\pmb B \cdot\text{grad})\pmb A - (\pmb A \cdot\text{grad})\pmb B,
\end{equation}
\begin{equation}
\text{grad}(\pmb A\cdot\pmb B)=(\pmb A \cdot\text{grad})\pmb B + (\pmb B \cdot\text{grad})\pmb A + \pmb A \times \text{rot }\pmb B + \pmb B \times \text{rot }\pmb A.
\end{equation}
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