物理のノート

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ベクトル

ベクトルとは,$(v_1, v_2, v_3, \dots)$で表現される数の組である.

次元$n$とはベクトル空間$V$における1次独立であるベクトル（数の組）の最大個数を指す.

1次独立なベクトルの組$\pmb e_1,\dots, \pmb e_n$をベクトル空間$V$の基底という.

任意の$n$次元列ベクトル$\pmb v=(v_1, v_2, \dots,v_n)^T$の長さをノルム（ベクトルノルム）と呼び,次のように定義する. \begin{equation} \lVert \pmb v \rVert =\sqrt {\sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2}}= \left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

ノルム$\lVert \pmb v \rVert$は,次の3条件を満たす,負ではない実数である.

pノルム

ベクトル$\pmb x$のpノルム$\lVert \pmb x \rVert _p$は次のように定義される.すなわち \begin{equation} \lVert \pmb x \rVert _p=\left\lbrace \sum_{i=1}^{n} \lvert x_{i} \rvert ^{p} \right\rbrace ^{\frac{1}{p}} \end{equation}

ただし,$p$は$p\geq 1$の正数である.
pノルムは,上述の3条件を満たす.

なお,$p=1,2,\infty$の場合をそれぞれ,絶対ノルム,2乗ノルムまたはユークリッド・ノルム,最大ノルムまたは一様ノルムと呼び,次の式(3)(4)(5)のように表す. \begin{equation} \lVert \pmb x \rVert _1=\left\lbrace \sum_{i=1}^{n} \lvert x_{i} \rvert ^{1} \right\rbrace ^{\frac{1}{1}}=\sum_{i=1}^{n} \lvert x_{i} \rvert \end{equation} \begin{equation} \lVert \pmb x \rVert _2=\left\lbrace \sum_{i=1}^{n} \lvert x_{i} \rvert ^{2} \right\rbrace ^{\frac{1}{2}} \end{equation} \begin{equation} \lVert \pmb x \rVert _\infty= \max_{i} \lvert x_{i} \rvert \end{equation} したがって,長さを表す(1)式は,2乗ノルムまたはユークリッド・ノルムである.

３次元ベクトル

一般的な3次元ベクトルのノルムは, \[ \lVert \pmb x \rVert =\sqrt {\sum_{i=1}^{3} x_{i}^{2}}=\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} \] である.

さて3次元ベクトル空間$V^3$は,互いに直交する（直角に交わる）3個の基底（単位ベクトル）$\pmb e_1,\pmb e_2, \pmb e_3$を用いて表せる.

それらの内積（ベクトル$\pmb a$と$\pmb b$の内積は, $\pmb a \cdot \pmb b$や$\pmb a\pmb b$と表す）は互いに直交関係にある. \[ \pmb e_1 \pmb e_2=\pmb e_2 \pmb e_3=\pmb e_3 \pmb e_1=0 \] \[ \lvert \pmb e_1 \rvert =\lvert \pmb e_2 \rvert=\lvert \pmb e_3 \rvert=1 \] 任意のベクトル$\pmb a \in V^3$は$a_1, \dots,a_n \in \pmb R$（$\pmb R$は実数体を表す）を用いると, \[ \pmb a=a_1 \pmb e_1+a_2 \pmb e_2+ a_3\pmb e_3 \] で一意的に表せる.

基底関数$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx$,$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx$との対比

周期関数のフーリエ級数展開の式(1)において, 第2項から第4項までを有限フーリエ級数として取り出し, 次のような関数を作る. \begin{equation} f(x)=a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x \\ =A_1\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos x+A_2\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x+A_3\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 3x \end{equation} 上式の$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos x$と$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x$の内積（積）に対して, 次のような積分操作を行う. \begin{equation} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x dx=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \cos x \cos 2x dx \\ =\frac{1}{\pi} \left\lbrace \frac{1}{2} \left(\int_0^{2\pi} \cos(1-2)x dx + \int_0^{2\pi} \cos(1+2)x dx \right)\right\rbrace\\ =\frac{1}{\pi} \left\lbrace \frac{1}{2} \left(\frac{1}{-1} [ \sin(-1)x ]_0^{2\pi} + \frac{1}{3}[ \sin 3x ]_0^{2\pi} \right)\right\rbrace\\ =\frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{2} \lbrace(-1)( \sin(-2\pi)-\sin 0 ) + \frac{1}{3}( \sin(6\pi)-\sin 0)\rbrace \right]\\ =0 \end{equation} 同じように, $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x$と$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 3x$, $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 3x$と$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos x$の各内積（積）の積分に対しても, 計算結果は$0$になる.

このことは, 3次元ベクトルの基底$\pmb e_i \lbrace i=1,2,3 \rbrace$と$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx \lbrace n=1,2,3\rbrace $が類型的であることを示す.

$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx \lbrace n=1,2,3 \rbrace$についても, 同様に考えることができる.

$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx$ , $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx \lbrace n=1,2,3 \rbrace$を基底関数と呼ぶ.

この考え方は, 3次元ベクトルから$n$次元ベクトルへ拡張することができる.

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