物理のノート
波動関数>アンテナと無線通信（巨視的）>三次元の空間と時間>極座標（球面座標）
三次元空間における電磁波の記述方法
領域内に波源がない場合
極座標における波動方程式の一般解
極座標成分で表したスカラー波動方程式$\psi(r,\theta,\phi)$を準備する.
まず極座標は次のように表される.
\begin{equation}
x=r\cos \phi \sin \theta,\\
y=r\sin \phi \sin\theta,\\
z=r\cos \theta
\end{equation}
極座標成分を波動方程式に代入して整理する.
\begin{equation}
\nabla^2\psi +k^2\psi =0 \qquad \\
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lbrace\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\pmb L^{2}}{r^2}\right\rbrace \psi +k^2\psi =0
\end{equation}
\begin{equation}
\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{1}{r^2}
\left\lbrace -\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\rbrace\right] \psi +k^2\psi =0
\end{equation}
なお,
\begin{equation}
\pmb L^{2}=-\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}
\end{equation}
$\pmb L$は,角運動量演算子と呼ばれる.
2階線形微分方程式のスカラー波動方程式$\psi(r,\theta,\phi)$の一般解は次のような形式で表される.[>>>直角座標における波動方程式の一般解]
\begin{equation}
\psi=R(r)P(\theta)\Phi(\phi)=RP\Phi
\end{equation}
(4)式に代入すると,
\begin{equation}
\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}
\left\lbrace \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\rbrace\right] RP\Phi +k^2 RP\Phi =0.
\end{equation}
両辺に$\frac{r^2}{RP\Phi}$をかけて整理する.
\begin{equation}
\left[\frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{dR}{d r}\right)+\frac{1}{P}
\left\lbrace \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dP}{d\theta}\right)\right\rbrace+\frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^2}\right] +k^2 r^2 =0.
\end{equation}
さらに定数項をまとめて,
\begin{equation}
k_r^2=\frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) +k^2 r^2
\end{equation}
と置き変えると,
\begin{equation}
\frac{1}{P}\left\lbrace \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dP}{d\theta}\right)\right\rbrace+\frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^2} +k_r^2=0,\\
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dP}{d\theta}\right)+\left(k_r^2+\frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^2} \right)P=0.
\end{equation}
ここで,
\begin{equation}
\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d \phi^2}=-m^2
\end{equation}
と置き換えて,(10)式を次のように変形する.
\begin{equation}
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d P}{d\theta}\right)+\left(k_r^2-\frac{m^2}{\sin^2\theta} \right)P=0.
\end{equation}
(12)式は陪ルジャンドル方程式（associated Legendre equation）と呼ばれる.またその一般解は次のように表される.
\begin{equation}
P(\theta)=B_3P_{n}^{m}(\cos\theta)+B_4Q_{n}^{m}(\cos\theta).
\end{equation}
なお, $P_{n}^{m}(\cos\theta)$,$Q_{n}^{m}(\cos\theta)$はそれぞれ第1種, 第2種の陪ルジャンドル関数（associated Legendre function）を示す.
以上で, $P(\theta)$の一般解が得られた.続けて$R(r)$,$\Phi(\phi)$について一般解をそれぞれ求める.
$R(r)$については(9)式を変形し,
\begin{equation}
k_r^2=\frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) +k^2 r^2 ,\\
\frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) +k^2 r^2=k_r^2,\\
\left(r^2\frac{d^2 R}{d r^2}+2r\frac{dR}{dr}\right) +k^2 r^2R=k_r^2R,\\
r^2\frac{d^2 R}{d r^2}+2r\frac{dR}{dr}+(k^2 r^2-k_r^2)R=0
\end{equation}
$k_r^2=n(n+1)$,$kr\equiv x$と置き換える（$\equiv$は合同記号）.
\begin{equation}
x^2\frac{d^2 R}{d x^2}++2r\frac{dR}{dx}+\lbrace(x^2-n(n+1)\rbrace R=0
\end{equation}
$R=\frac{W}{\sqrt{x}}$と置き換えて変形する.
\begin{equation}
x^2\frac{d^2 W}{d x^2}++2r\frac{d W}{dx}+\lbrace(x^2-(n+\frac{1}{2})^2\rbrace W=0
\end{equation}
これは$n+\frac{1}{2}$次のベッセル方程式（vessel function）である.その一般解は,次のように示される.
\begin{equation}
R(r)=B_1j_{n}(kr)+B_2n_{n}(kr).
\end{equation}
$j_{n}$,$n_{n}$はそれぞれ第1種, 第2種の球ベッセル関数（spherical vessel function）を示す.
$\Phi(\phi)$については, (11)式の2階線形常微分方程式を解いて,一般解を求める.すなわち,
\begin{equation}
\Phi(\phi)=B_5\cos m \phi +B_6\sin m\phi.
\end{equation}
$R,P,\Phi$それぞれの一般解が導出された.(6)式に代入すると,極座標における波動方程式の一般解が得られる.
\begin{equation}
\Psi(r,\theta,\phi)=\left\lbrace B_1j_{n}(kr)+B_2n_{n}(kr)\right\rbrace \left\lbrace B_3P_{n}^{m}(\cos\theta)+B_4Q_{n}^{m}(\cos\theta)\right\rbrace (B_5\cos m\phi +B_6\sin m\phi).
\end{equation}
境界条件を用いた波動方程式の特解
(1)導波管内の電磁波の分布
(1)-1 TEモード
(1)-2 TMモード
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