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物理のノート

波動関数>アンテナと無線通信（巨視的）>三次元の空間と時間>極座標（球面座標）

三次元空間における電磁波の記述方法

領域内に波源がない場合

極座標における波動方程式の一般解

極座標成分で表したスカラー波動方程式

$\psi(r,\theta,\phi)$ を準備する.

まず極座標は次のように表される.

$\begin{equation} x=r\cos \phi \sin \theta,\\ y=r\sin \phi \sin\theta,\\ z=r\cos \theta \end{equation}$ 極座標成分を波動方程式に代入して整理する.

$\begin{equation} \nabla^2\psi +k^2\psi =0 \qquad \\ \end{equation}$

$\begin{equation} \left\lbrace\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\pmb L^{2}}{r^2}\right\rbrace \psi +k^2\psi =0 \end{equation}$

$\begin{equation} \left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{1}{r^2} \left\lbrace -\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\rbrace\right] \psi +k^2\psi =0 \end{equation}$ なお,

$\begin{equation} \pmb L^{2}=-\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \end{equation}$

$\pmb L$ は,角運動量演算子と呼ばれる.

2階線形微分方程式のスカラー波動方程式

$\psi(r,\theta,\phi)$ の一般解は次のような形式で表される.[>>>直角座標における波動方程式の一般解]

$\begin{equation} \psi=R(r)P(\theta)\Phi(\phi)=RP\Phi \end{equation}$ (4)式に代入すると,

$\begin{equation} \left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2} \left\lbrace \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\rbrace\right] RP\Phi +k^2 RP\Phi =0. \end{equation}$ 両辺に

$\frac{r^2}{RP\Phi}$ をかけて整理する.

$\begin{equation} \left[\frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{dR}{d r}\right)+\frac{1}{P} \left\lbrace \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dP}{d\theta}\right)\right\rbrace+\frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^2}\right] +k^2 r^2 =0. \end{equation}$ さらに定数項をまとめて,

$\begin{equation} k_r^2=\frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) +k^2 r^2 \end{equation}$ と置き変えると,

$\begin{equation} \frac{1}{P}\left\lbrace \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dP}{d\theta}\right)\right\rbrace+\frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^2} +k_r^2=0,\\ \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dP}{d\theta}\right)+\left(k_r^2+\frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^2} \right)P=0. \end{equation}$ ここで,

$\begin{equation} \frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d \phi^2}=-m^2 \end{equation}$ と置き換えて,(10)式を次のように変形する.

$\begin{equation} \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d P}{d\theta}\right)+\left(k_r^2-\frac{m^2}{\sin^2\theta} \right)P=0. \end{equation}$ (12)式は陪ルジャンドル方程式（associated Legendre equation）と呼ばれる.またその一般解は次のように表される.

$\begin{equation} P(\theta)=B_3P_{n}^{m}(\cos\theta)+B_4Q_{n}^{m}(\cos\theta). \end{equation}$ なお,

$P_{n}^{m}(\cos\theta)$ ,

$Q_{n}^{m}(\cos\theta)$ はそれぞれ第1種, 第2種の陪ルジャンドル関数（associated Legendre function）を示す.

以上で,

$P(\theta)$ の一般解が得られた.続けて

$R(r)$ ,

$\Phi(\phi)$ について一般解をそれぞれ求める.

$R(r)$ については(9)式を変形し,

$\begin{equation} k_r^2=\frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) +k^2 r^2 ,\\ \frac{1}{R}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) +k^2 r^2=k_r^2,\\ \left(r^2\frac{d^2 R}{d r^2}+2r\frac{dR}{dr}\right) +k^2 r^2R=k_r^2R,\\ r^2\frac{d^2 R}{d r^2}+2r\frac{dR}{dr}+(k^2 r^2-k_r^2)R=0 \end{equation}$

$k_r^2=n(n+1)$ ,

$kr\equiv x$ と置き換える（

$\equiv$ は合同記号）.

$\begin{equation} x^2\frac{d^2 R}{d x^2}++2r\frac{dR}{dx}+\lbrace(x^2-n(n+1)\rbrace R=0 \end{equation}$

$R=\frac{W}{\sqrt{x}}$ と置き換えて変形する.

$\begin{equation} x^2\frac{d^2 W}{d x^2}++2r\frac{d W}{dx}+\lbrace(x^2-(n+\frac{1}{2})^2\rbrace W=0 \end{equation}$ これは

$n+\frac{1}{2}$ 次のベッセル方程式（vessel function）である.その一般解は,次のように示される.

$\begin{equation} R(r)=B_1j_{n}(kr)+B_2n_{n}(kr). \end{equation}$

$j_{n}$ ,

$n_{n}$ はそれぞれ第1種, 第2種の球ベッセル関数（spherical vessel function）を示す.

$\Phi(\phi)$ については, (11)式の2階線形常微分方程式を解いて,一般解を求める.すなわち,

$\begin{equation} \Phi(\phi)=B_5\cos m \phi +B_6\sin m\phi. \end{equation}$

$R,P,\Phi$ それぞれの一般解が導出された.(6)式に代入すると,極座標における波動方程式の一般解が得られる.

$\begin{equation} \Psi(r,\theta,\phi)=\left\lbrace B_1j_{n}(kr)+B_2n_{n}(kr)\right\rbrace \left\lbrace B_3P_{n}^{m}(\cos\theta)+B_4Q_{n}^{m}(\cos\theta)\right\rbrace (B_5\cos m\phi +B_6\sin m\phi). \end{equation}$

物理のノート

三次元空間における電磁波の記述方法

領域内に波源がない場合

極座標における波動方程式の一般解

境界条件を用いた波動方程式の特解

(1)導波管内の電磁波の分布

(1)-1 TEモード

(1)-2 TMモード