物理のノート
波動関数>アンテナと無線通信（巨視的）>三次元の空間と時間>直角座標（直交座標系）
三次元空間における電磁波の記述方法
領域内に波源がない場合
直角座標における波動方程式の一般解
ある領域内に存在する電磁波を表す波動方程式は,2階偏微分方程式で記述される.したがって,解析的に解く場合の考え方としてはまず, （座標系に関わらず）変数分離法によって一般解を得る.
一般解は未定形定数（任意定数）を含む。そこで次に, 一般解に境界条件を当てはめて未定形の定数を求める（特解を導出する）というアプローチをとる.
一方向成分のみを持つ波動方程式の一般解
で示したように,
３次元空間で, 進行方向が$x$軸に沿って進む横波（座標に関する独立変数が1つ, つまり1次元の場合）における平面波の波動方程式（＝波動関数）$\Psi(x, t)=E$は,
\begin{equation}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}+\gamma^{2}E_x=0 \qquad
\end{equation}
と記された.これは,
\begin{equation}
\nabla^2 \pmb E=\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{equation}
において,
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}=0
\end{equation}
として導かれた.(2)式の導出には次の ヘルムホルツ方程式が用いられた.
\begin{equation}
\nabla^2\pmb E -\gamma^2\pmb E =0 \qquad
\end{equation}
以上は振り返りである.さて(1)式において,直交座標成分を$x,y,z$とするスカラー波動方程式$\psi(x,y,z)$を改めて考える.(1)(2)(4)式を参照し,
\begin{equation}
\nabla^2\psi +k^2\psi =0 \qquad \\
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} +k^2\psi =0
\end{equation}
となる.伝搬定数$\gamma^2=jw\mu(\sigma+jw\varepsilon)=-k^2$と置き換えている.
(5)式の形で表される方程式は, 次のような変数分離形の一般解を持つことが知られている.
\begin{equation}
\psi=X(x)Y(y)Z(z)=XYZ.
\end{equation}
(6)式を(5)式の左辺に代入する.
\begin{equation}
\frac{\partial^2 XYZ}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 XYZ}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 XYZ}{\partial z^2} +k^{2}XYZ =0 \\
YZ\frac{d^2 X}{d x^2}+XZ\frac{d^2 Y}{d y^2}+XY\frac{d^2 Z}{d z^2} +k^{2}XYZ =0 \\
\frac{1}{X}\frac{d^2 X}{d x^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2 Y}{d y^2}+\frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{d z^2} +k^{2} =0
\end{equation}
(7)式（右辺＝0）が成立するには, $X,Y,Z$の2階微分の各項が定数であることが条件になる.このことを次のように記す.各式の右辺は定数項である.
\begin{equation}
\frac{1}{X}\frac{d^2 X}{d x^2}=k_{x}^{2}\\
\frac{1}{Y}\frac{d^2 Y}{d y^2}=k_{y}^{2}\\
\frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{d z^2} =k_{z}^{2}
\end{equation}
(8)式のXに関する2階微分方程式の一般解は次のようになる.[>>>2階線形常微分方程式（特性方程式による解法]
\begin{equation}
X(x)=A_1 e^{k_x x}+ A_2 e^{-k_x x} \\
=A_1 \cos jk_x x+A_2 \sin jk_x x
\end{equation}
$A_{1\dots n}$は任意定数である.$Y,Z$についても(10)式と同様の一般解が得られる.$X,Y,Z$の各一般解を(6)式に代入すると,
\begin{equation}
\psi=(A_1 e^{k_x x}+ A_2 e^{-k_x x})(A_3 e^{k_y y}+ A_4 e^{-k_y y})(A_5 e^{k_z z}+ A_6 e^{-k_z z})\\
=(A_1 \cos jk_x x+A_2 \sin jk_x x)(A_3 \cos jk_y y+A_4 \sin jk_y y)(A_5 \cos jk_z z+A_6 \sin jk_z z)
\end{equation}
スカラー波動方程式$\psi(x,y,z)$の一般解が導出される.
境界条件を用いた波動方程式の特解
(1)導波管内の電磁波の分布
導波管は, 導体で囲まれた管であり, 電磁波を低損失で伝搬できる. その形状から, 方形導波管や円形導波管がある.[>>>導波管(waveguide)
について]
ここでは方形導波管を例に,空間内を伝搬する電磁波の分布状態を, 上述の直交座標系におけるスカラー波動方程式の一般解に境界条件を適用することで記述する.
導波管内を伝搬する電磁波は, 波の進行方向成分を$z$軸にとった場合, $E_z=0$のTEモード（E:Electronic）および$H_z=0$のTMモード（M:Magnetic）
の2つに分類される.ここでは管内を真空(減衰定数$\alpha=0$）,管壁は完全導体とする.
(1)-1 TEモード
$\psi(x,y,z)=H_z(x,y,z)$について,時間因子$t$を持つ,と見なして(5)式を適用する.
[>>> 一方向成分のみを持つ波動方程式の一般解]
\begin{equation}
\psi=H_z(z)=e^{j(\omega t-k_z z)}
\end{equation}
さて(11)式を微分すると次のようになる.
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial z}H_z =\frac{\partial}{\partial z}e^{j(\omega t-k_z z)}\\
=-jk_z e^{j(\omega t-k_z z)}\\
=-j\beta_g H_z\\
\end{equation}
ゆえに,
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial z}=-j\beta_g\\
\end{equation}
ここで$k_z=\beta_g$と置き換えている.
次に,アンペール-マクスウェルの法則[>>>マクスウェル方程式(1)]より,
\begin{equation}
\frac{1}{\mu_0}\text{rot } \pmb B=\text{rot } \pmb H \\
= \begin{vmatrix}
\pmb i &\pmb j &\pmb k\\
\frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\
H_x &H_y &H_z
\end{vmatrix}
= \varepsilon_0\frac{\partial \pmb E}{\partial t}=j\omega \varepsilon_0 \begin{bmatrix}
\pmb i E_x\\
\pmb j E_y\\
\pmb k E_z\\
\end{bmatrix}.
\end{equation}
ただし, アンペール-マクスウェルの法則において今回,波源はないと見なすので$\pmb j=0$としている.
また,ファラデーの電磁誘導の法則[>>>マクスウェル方程式(2)]より,
\begin{equation}
\text{rot } \pmb E \\
= \begin{vmatrix}
\pmb i &\pmb j &\pmb k\\
\frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\
E_x &E_y &0
\end{vmatrix}
= -\frac{\partial \pmb B}{\partial t}=-\mu_0\frac{\partial \pmb H}{\partial t}
=-j\omega \mu_0 \begin{bmatrix}
\pmb i H_x\\
\pmb j H_y\\
\pmb k H_z\\
\end{bmatrix}.
\end{equation}
(14)の行列を展開して得られる,3つのベクトルに関する等式のうち$\pmb i$について整理する.
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial y}H_z \pmb i - \frac{\partial}{\partial y}H_y \pmb i=j\omega \varepsilon_0 E_x \pmb i \\
\frac{\partial}{\partial y}H_z - \frac{\partial}{\partial y}H_y =j\omega \varepsilon_0 E_x \\
\frac{\partial}{\partial y}H_z + j\beta_g H_y =j\omega \varepsilon_0 E_x \qquad \text{(13)式より}
\end{equation}
(15)の行列を展開して得られる,3つのベクトルに関する等式の1つは$\pmb j$について次のようになる.
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial z}E_x \pmb j-\frac{\partial}{\partial x}0 \pmb j =-j\omega \mu_0 H_y \pmb j\\
\frac{\partial}{\partial z}E_x =-j\omega \mu_0 H_y \\
-j\beta_g E_x =-j\omega \mu_0 H_y \qquad \text{(13)式より}
\end{equation}
(17)式より,
\begin{equation}
H_y=\frac{\beta_g}{\omega \mu_0} E_x
\end{equation}
(18)式を(16)式に代入する.
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial y}H_z + j\beta_g \frac{\beta_g}{\omega \mu_0} E_x =j\omega \varepsilon_0 E_x ,\\
\left( \frac{j\beta_{g}^2}{\omega \mu_0}-j\omega \varepsilon_0 \right)E_x =-\frac{\partial}{\partial y}H_z ,\\
E_x =-\frac{1}{ \left( \frac{j\beta_{g}^2}{\omega \mu_0}-j\omega \varepsilon_0 \right)}\frac{\partial H_z}{\partial y}\\
=-\frac{\omega \mu_0}{ \left( j\beta_{g}^2-j\omega^2 \mu_0\varepsilon_0 \right)}\frac{\partial H_z}{\partial y},\\
E_x=\frac{-j\omega \mu_0}{ k^2 -\beta_{g}^2}\frac{\partial H_z}{\partial y}.\\
\end{equation}
ここで, $k^2=\omega^2 \mu_0\varepsilon_0$を利用している.[>>>[コラム]波数$k$と位相定数$\beta$]
さて(16)式と同様に, (14)の行列を展開して得られるベクトルの等式および, (15)の行列を展開して得られるベクトルの等式において,それぞれ$\pmb j$と$\pmb i$について整理すると次の式が得られる.
\begin{equation}
H_x=-\frac{\beta_g}{\omega \mu_0} E_y
\end{equation}
\begin{equation}
E_y =\frac{j\omega \mu_0}{ k^2 -\beta_{g}^2}\frac{\partial H_z}{\partial x}
\end{equation}
(17)(18)(19)(20)式より,$H_z$による方形導波管内の電磁波の分布が表現される.
ここに, 管壁の境界条件を適用する.すなわち,
\begin{equation}
x=0,x=a \text{において} E_y=0,\\
y=0,y=b \text{において} E_x=0
\end{equation}
である.
(6)(10)式に,(17)(18)(19)(20)式と,(22)の境界条件を代入して整理する.
(6)式より
\begin{equation}
\psi=H_z(x)H_z(y)H_z(z)=H_x H_y H_z.
\end{equation}
導波管内での電磁波は定在波として(11)式で$t=0$とすると,
\begin{equation}
H_z=e^{j(\omega 0-k_z z)}=e^{-j k_z z}=e^{-j \beta_g z}.
\end{equation}
(20)(21)式より,$E_y$を消去して,
\begin{equation}
H_x=-\frac{\beta_g}{\omega \mu_0} \frac{j\omega \mu_0}{ }\frac{\partial H_z}{\partial x}\\
=-\frac{j\beta_g}{k^2 -\beta_{g}^2}\frac{\partial H_z}{\partial x}\\
=-\frac{j\beta_g}{k^2 -\beta_{g}^2}\frac{d H_x}{d x}\\
\frac{j\beta_g}{k^2 -\beta_{g}^2}\frac{d H_x}{d x}+H_x=0
\end{equation}
$A=\frac{1}{\frac{j\beta_g}{k^2 -\beta_{g}^2}}$と置き換えると.
\begin{equation}
\frac{dH_x}{dx}+A H_x=0 \\
\log H_x=-Ax+C^{'}\\
H_x=e^{(-\frac{1}{\frac{j\beta_g}{k^2 -\beta_{g}^2}}x+C^{'})}\\
=e^{(\frac{j(k^2 -\beta_{g}^2)}{\beta_g}x+C^{'})}
\end{equation}
\begin{equation}
\psi(x,y,z)=H_z=H_{mn}\cos \left(\frac{m\pi}{a}x \right)\cos \left(\frac{n\pi}{b}y \right)e^{-j\beta_g z}
\end{equation}
$H_{mn}$は任意定数.(22)式を(18)(20)式に代入する.
\begin{equation}
E_x=\frac{j\omega\mu n\pi}{(k^2-\beta_g) b} H_{mn}\cos \left(\frac{m\pi}{a}x \right)\cos \left(\frac{n\pi}{b}y \right)e^{-j\beta_g z}\\
=-\frac{j\omega\mu n\pi}{k_{c}^2 b} H_{mn}\cos \left(\frac{m\pi}{a}x \right)\cos \left(\frac{n\pi}{b}y \right)e^{-j\beta_g z}
\end{equation}
\begin{equation}
E_y=-\frac{j\omega\mu m\pi}{(k^2-\beta_g) a} H_{mn}\cos \left(\frac{m\pi}{a}x \right)\cos \left(\frac{n\pi}{b}y \right)e^{-j\beta_g z}\\
=\frac{j\omega\mu m\pi}{k_{c}^2 a} H_{mn}\cos \left(\frac{m\pi}{a}x \right)\cos \left(\frac{n\pi}{b}y \right)e^{-j\beta_g z}
\end{equation}
ここで,$k_{c}^2=k^2-\beta_g^2$.
(1)-2 TMモード
（波源あり：アンテナからの放射界）
（波源あり：送受信アンテナに現れる電圧の対称性）
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