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物理のノート

シュレーディンガー方程式(微視的・力学的エネルギー保存則)>三次元の空間と時間>極座標(球面座標)

三次元空間における波動方程式(波動関数)の記述方法

領域内に波源がない場合

極座標における波動方程式の一般解
アンテナと無線通信(巨視的)で触れた, 三次元空間(極座標,球面座標)における波動関数の一般解を得る際に導出した 陪ルジャンドル方程式(associated Legendre equation)から始める.

巨視的レベルでは,極座標成分で表したスカラー波動方程式ψ(r,θ,ϕ)の一般解は次のような形式で表された. ψ=R(r)P(θ)Φ(ϕ)=RPΦ

P(θ)の一般解を導出するため,陪ルジャンドル方程式に変形するところまでは,同様のアプローチで進められる. [>>>陪ルジャンドル方程式] 1sinθddθ(sinθdPdθ)+(k2rm2sin2θ)P=0. その一般解は, 既出のように次のように表された. P(θ)=B3Pmn(cosθ)+B4Qmn(cosθ). なお, Pmn(cosθ),Qmn(cosθ)はそれぞれ第1種, 第2種の陪ルジャンドル関数(associated Legendre function)を示す.

ここで, k2r=k0を, LL2LLは角運動量演算子)の固有値と呼び, すでに説明した通りk=n(n+1)で表される.

また, mは,LLz成分Lzの固有値としている.

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