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物理のノート

シュレーディンガー方程式（微視的・力学的エネルギー保存則）>三次元の空間と時間>極座標（球面座標）

三次元空間における波動方程式（波動関数）の記述方法

領域内に波源がない場合

極座標における波動方程式の一般解

アンテナと無線通信（巨視的）で触れた, 三次元空間（極座標,球面座標）における波動関数の一般解を得る際に導出した 陪ルジャンドル方程式（associated Legendre equation）から始める.

巨視的レベルでは,極座標成分で表したスカラー波動方程式

$\psi(r,\theta,\phi)$ の一般解は次のような形式で表された.

$\begin{equation} \psi=R(r)P(\theta)\Phi(\phi)=RP\Phi \end{equation}$

$P(\theta)$ の一般解を導出するため,陪ルジャンドル方程式に変形するところまでは,同様のアプローチで進められる. [>>>陪ルジャンドル方程式]

$\begin{equation} \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d P}{d\theta}\right)+\left(k_r^2-\frac{m^2}{\sin^2\theta} \right)P=0. \end{equation}$ その一般解は, 既出のように次のように表された.

$\begin{equation} P(\theta)=B_3P_{n}^{m}(\cos\theta)+B_4Q_{n}^{m}(\cos\theta). \end{equation}$ なお,

$P_{n}^{m}(\cos\theta)$ ,

$Q_{n}^{m}(\cos\theta)$ はそれぞれ第1種, 第2種の陪ルジャンドル関数（associated Legendre function）を示す.

ここで,

$k_r^2=k \geq 0$ を,

$\pmb L^2$ （

$\pmb L$ は角運動量演算子）の固有値と呼び, すでに説明した通り

$k=n(n+1)$ で表される.

また,

$m$ は,

$\pmb L$ の

$z$ 成分

$L_z$ の固有値としている.

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