物理のノート
電磁気場の理論
ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルによる表現
マクスウェル方程式における, 磁場に関するガウスの法則
\[
\text{div } \pmb B=0 \qquad(\text{磁場に関するガウスの法則}）
\]
がある. これを
ベクトル解析の公式（恒等式）
\[
\text{div rot } \pmb A =0
\]
と比較すると, $\pmb B$は
\[
\pmb B=\text{rot }\pmb A \phantom{XXX}
\]
と記述することができる.
$\pmb A$は,
ベクトルポテンシャルとよばれる. これを
マクスウェル方程式の
\[
\text{rot } \pmb E=-\frac{\partial \pmb B}{\partial t}\phantom-(ファラデーの電磁誘導の法則）
\]
に代入して, 右辺が$0$になるように移項・整理すると,
\[
\text{rot}\left(\pmb E + \frac{\partial \pmb A}{\partial t}\right )=0
\]
上式の1つの解は,
\[
\pmb E+\frac{\partial\pmb A}{\partial t}=0
\]
ここで,
ベクトル解析の公式（恒等式）より,
\[
\text{rot grad }\phi=0 \phantom{XXX}
\]
より,
\[
\text{rot }(0+\text{grad }\phi)=\text{rot}\left(\pmb E + \frac{\partial \pmb A}{\partial t}+\text{grad }\phi\right)=0
\]
となり, 一般解は
\[
\pmb E=-\text{grad }\phi-\frac{\partial \pmb A}{\partial t} \phantom{XXX}
\]
と書ける.
$\phi$は,
スカラーポテンシャルとよばれる. （参考文献に挙げた「電波工学」などでは, $V$, $V(\phi)$と表されている）
$\pmb E$, $\pmb B$は、スカラーポテンシャル$\phi$, ベクトルポテンシャル$\pmb A$（
$\phi$と$\pmb A$の２つを指して電磁ポテンシャル）を与えれば決まる.
$\pmb A$と$\phi$を決める方程式は,
マクスウェル方程式から導かれる以下の式である.
$\epsilon_0\mu_0=c^{-2}$なので,
\[
\text{grad }\text{div }\pmb A-\Delta\pmb A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \pmb A}{\partial t^2}+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\text{grad }\phi =\mu_0 \pmb j \qquad
\]
\[
-\epsilon_0\Delta\phi-\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\text{div }\pmb A=\rho \qquad
\]
スカラーポテンシャル（ポテンシャル場）の補足
$V(x)$または,変数を省略して$V$は, 上述では（高校物理で習うように）「位置エネルギー」と呼んでいるが, 一般に「（スカラー）ポテンシャル」と称する（「ポテンシャル場」とも記される）.
重力（万有引力）や静電気（電気のクーロン・ポテンシャル）は, ポテンシャル場（スカラーポテンシャル）である.
重力は,
\begin{equation}
U(r)=-G\frac{Mm}{r}.
\end{equation}
クーロン・ポテンシャルは,
\begin{equation}
U(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}.
\end{equation}
この$u=\frac1r$の形を持つスカラーポテンシャルは, いずれも以下の
ラプラスの方程式すなわち$\Delta(\frac1r)=\nabla^2(\frac1r)=0$を満たす.
\begin{equation}
\Delta \phi =\nabla^2 \phi= \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}=0
\end{equation}
スカラーポテンシャルに対して, ベクトルポテンシャル$\pmb A$は電磁場（電磁気場）において, ベクトル,
すなわち数の組$(v_1, v_2, v_3, \dots)$で表現される.
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