物理のノート
電磁気回路の基礎と応用
マクスウェル方程式
電荷密度$\rho$と電流密度$\pmb i(A/m^2)$を有する,電場（電界の強さ）$\pmb E(V/m)$および磁場（磁束密度）$\pmb B(T=Wb/m^2)$（真空中）は, 以下のマクスウェル方程式で示される.[>>>ベクトル解析の公式]
\begin{equation}
\frac{1}{\mu_0}\text{rot } \pmb B=\frac{1}{\mu_0}\nabla\times \pmb B=\varepsilon_0\frac{\partial \pmb E}{\partial t} + \pmb j \qquad(\text{アンペール - マクスウェルの法則}）
\end{equation}
\begin{equation}
\text{rot } \pmb E=\nabla\times \pmb E=-\frac{\partial \pmb B}{\partial t}\qquad(\text{ファラデーの電磁誘導の法則}）
\end{equation}
\begin{equation}
\varepsilon_0 \text{div } \pmb E=\varepsilon_0 \nabla\cdot \pmb E=ρ \qquad (\text{電場に関するガウスの法則}）
\end{equation}
\begin{equation}
\text{div } \pmb B=\nabla\cdot \pmb B=0 \qquad(\text{磁場に関するガウスの法則}）
\end{equation}
磁界の強さ$\pmb H (A/m)$,電束密度$\pmb D(C/m^3)$に関する方程式は次のとおりである.
\begin{equation}
\pmb D=\varepsilon \pmb E \qquad(\varepsilon \text{: 誘電率}）(F/m)
\end{equation}
\begin{equation}
\pmb B=\mu \pmb H \qquad(\mu \text{: 透磁率}）(H/m)
\end{equation}
電流密度$\pmb j(A/m^2)$については,導電率$\sigma (S/m)=\frac{l}{RS}$と,電気回路におけるオームの法則($V=IR$)を用いて
\begin{equation}
\pmb j=\sigma \pmb E \qquad
\end{equation}
ヘルムホルツ方程式
ここで,電場（電界の強さ）$\pmb E$と磁場（すなわち磁界の強さ）$\pmb H$が,時間因子$e^{j\theta}=e^{jwt}$を持つとする.例えば,
\begin{equation}
E=E_0 e^{jwt},\\
H=H_0 e^{jwt}.
\end{equation}
(1)式（アンペール - マクスウェルの法則） に(6)(7)式を代入し,変形する.右辺は(8)式の時間因子に着目して微分する.なお, $\varepsilon=\varepsilon_0$,$\mu=\mu_0$（真空中の誘電率, 透磁率）とする.
\begin{equation}
\frac{1}{\mu}\text{rot } \pmb B=\frac{1}{\mu}\nabla\times \pmb B\\
=\nabla \times \pmb H=\sigma \pmb E+ \varepsilon\frac{\partial \pmb E}{\partial t}=\sigma \pmb E+ \varepsilon jw \pmb E\\
=(\sigma+jw\varepsilon)\pmb E
\end{equation}
すなわち,
\begin{equation}
\nabla \times \pmb H=(\sigma+jw\varepsilon)\pmb E.
\end{equation}
(2)式の右辺についても(6)式を代入し, 微分する.
\begin{equation}
\nabla \times \pmb E=-jw\mu \pmb H
\end{equation}
(10)式の両辺の$\text{rot}(=\nabla\times)$をとる.
\begin{equation}
\nabla\times(\nabla \times \pmb H)=(\sigma+jw\varepsilon)\nabla\times \pmb E,\\
\nabla(\nabla\cdot \pmb H)-\nabla^2\pmb H=(\sigma+jw\varepsilon)\nabla\times \pmb E.
\end{equation}
(4)(6)式より,
\begin{equation}
\nabla\cdot \pmb B=\mu\nabla\cdot \pmb H=0
\end{equation}
(12)式の左辺に(13)式を, 右辺に(11)式を代入する.
\begin{equation}
0-\nabla^2\pmb H=-jw\mu(\sigma+jw\varepsilon)\pmb H.
\end{equation}
これより,
\begin{equation}
\nabla^2\pmb H-\gamma^2\pmb H=0.
\end{equation}
同様にして,
\begin{equation}
\nabla^2\pmb E-\gamma^2\pmb E=0
\end{equation}
ただし、$\gamma$は,
\begin{equation}
\gamma^2=jw\mu(\sigma+jw\varepsilon)
\end{equation}
という伝搬定数である.
(15)(16)式をヘルムホルツ方程式と呼ぶ.
アンペアの周回積分の法則
\begin{equation}
Hl=nI
\end{equation}
$H(A/m)$ は, 磁界の強さを示す. 磁界の強さは, 電流$I(A)$と, 導線の巻き数$n(\text{回})$に比例している.
環状コイルの自己インダクタンス
\begin{equation}
LI=\phi n \\
L=\frac{\phi n}{I}=\frac{\phi n^2}{Hl} \\
=\frac{\phi n^2}{\frac{B}{\mu} l}=\mu \frac{\phi n^2}{\frac{\phi}{S} l} \\
=\mu \frac{S n^2}{l}
\end{equation}
$n$:巻数
有限長コイルの自己インダクタンス
\begin{equation}
L=k\mu \frac{S n^2}{l} \qquad(\text{kは, 長岡係数})
\end{equation}
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