物理のノート
電磁気回路の基礎と応用
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分布定数回路（伝送線路）とインピーダンス整合
分布定数回路
一般の電気回路では, 抵抗$R$, インダクタンス$L$, キャパシタンス（静電容量）$C$などの要素が回路素子（部品）に集中していると認識できる.
一方、長距離にわたる送電線路や電気通信における伝送線路では, これらの要素が伝送線路全体に分布しているものとして扱う. 電線の抵抗値は送電線路の長さなどに関わり,
電線間の相互インダクタンス, 電線と大地の間のキャパシタンスなどが影響する.
前者を集中定数回路, 後者を分布定数回路と呼ぶ.
伝送路が短くても, 回路素子の大きさが信号波長と比較して大きい通信線路などでは分布定数回路として扱う.
ただし, 回路の要素が一様に分布している, とみなせる場合には, 単純化した等価回路を用いて計算する.
分布定数回路の電圧・電流に関する微分方程式
断面積が一定の並行導体が$z$軸方向に無限に伸びていると仮定する.
上記分布定数回路の等価回路において,単位長あたりの直列インピーダンス$Z_s$, 並列アドミタンス$Y_p=\frac{1}{Z_p}$は次のように記述される
（インピーダンスは"流れにくさ", アドミタンスはインピーダンスの逆数で"流れやすさ"を表す）.
\begin{equation}
Z_s=R+ j X_L=R+ j\omega L , \\
Y_p=\frac{1}{R}+ j\frac{1}{X_c}=G+ j\omega C.
\end{equation}
$G$:コンダクタンス
この場合, 線路上の電圧$V$,電流$I(=VZ)$は次のように表される.
\begin{equation}
\frac{dV}{dz}=-Z_s I
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dI}{dz}=-Y_p I
\end{equation}
上記(2)(3)の分布定数回路の電圧, 電流における微分方程式の両辺を, それぞれさらに$\frac{d}{dz}$によって微分する.
\begin{equation}
\frac{d^2V}{dz^2}=-\frac{d}{dz}(Z_s I)=\frac{dZ_s}{dz} I +(-Z_s)\frac{dI}{dz}=0+(-Z_s)(-Y_p V)=Z_s Y_p V=\gamma^2 V
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d^2I}{dz^2}=-\frac{d}{dz}(Y_p V)=\frac{dY_p}{dz} V +(-Y_p)\frac{dV}{dz}=0+(-Y_p)(-Z_s I)=Z_s Y_p I=\gamma^2 I
\end{equation}
なお上式において, 導体の長さ$z$を極限まで短くした場合に$Z_s$, $Y_p$は限りなく$0$に近づく. ゆえに,
\[
\frac{dZ_s}{dz}=0, \\
\frac{dY_p}{dz}=0.
\]
としている. また, $\gamma$は,
\begin{equation}
\gamma=\alpha + j\beta=\sqrt{Z_s Y_p}=\sqrt{(R+ j\omega L)(G+ j\omega C)}
\end{equation}
となり, 伝搬定数という.
$\alpha$:減衰定数, $\beta$:位相定数 [>>>ヘルムホルツ方程式]
一般解が示す波動性と特性インピーダンス
式(4)(5)は, 定数係数の2階線形常微分方程式である.
したがって, 一般解は次のように導出される.
\begin{equation}
V(z)=V_1 e^{-\gamma z} + V_2 e^{\gamma z}
\end{equation}
\begin{equation}
I(z)=I_1 e^{-\gamma z} + I_2 e^{\gamma z}=\frac{1}{Z_0}(V_1 e^{-\gamma z} + V_2 e^{\gamma z})
\end{equation}
なお, $Z_0$は特性インピーダンスと呼び,
\begin{equation}
Z_0=\sqrt{\frac{Z_s}{Y_p}}=\sqrt{\frac{R+ j\omega L}{G+ j\omega C}}.
\end{equation}
式(7)(8)の右辺第1項は, $z$の正方向への進行波, 右辺第2項は負方向への後進波を表す. 回路（伝送線路）でありながら
波（波動）として捉えることができることが興味深い.
これらの分布定数回路上における伝搬の説明が, 電磁波の伝搬を理解・論考するうえで効いてくる（役立つ）.
反射係数
進行波と後進波の比を（電圧）反射係数と呼ぶ.
\begin{equation}
\Gamma(s)=\frac{V_1 e^{\gamma s}}{V_2 e^{-\gamma s}}=\frac{V_1}{V_2} e^{-2\gamma s}.
\end{equation}
$s$は長さ$l$の分布定数回路上の点で, $s=l-z$の点とする.
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