物理のノート
公式類>微分方程式の解法
本ノートで使用する主な微分方程式および, その一般解を記す.
定数係数の線形微分方程式
一次元（たとえば, $x$軸）で考えると常微分方程式である. 多次元で考える場合は, 偏微分方程式として扱える.
1階線形常微分方程式（変数分離法）
\begin{equation}
\frac{d}{d\omega}F(w)+\frac{\omega}{2a}F(\omega)=0.
\end{equation}
この式を変形する.
\[
\frac{F(\omega)^{'}}{F(\omega)}=-\frac{\omega}{2a}
\]
両辺を$\omega$について積分すると一般解が得られる.
\begin{equation}
\int \frac{F(\omega)^{'}}{F(\omega)} d\omega= \int -\frac{\omega}{2a}d\omega,\\
\log F(\omega)=-\frac{\omega^2}{4a}+C^{'},\\
F(\omega)=e^{-\frac{\omega^2}{4a}+C^{'}}=C e^{-\frac{\omega^2}{4a}}.\\
C=e^{C^{'}}.
\end{equation}
[>>>ガウス分布のフーリエ変換]
1階線形常微分方程式（定数変化法）
\begin{equation}
\frac{d}{dx} f(x)+g(x)f(x)=0
\end{equation}
一般解は,
\begin{equation}
f(x)=C e^{\int g(x)dx}
\end{equation}
$C$は, 任意定数（Constant）
2階線形常微分方程式（特性方程式による解法）
\begin{equation}
\frac{d^2}{dx^2} f(x)+kf(x)=0
\end{equation}
一般解は,
\begin{equation}
f(x)=C_1 \sin \sqrt{k} x+ C_2 \cos \sqrt{k} x \qquad \text{(k>0)}
\end{equation}
\begin{equation}
f(x)=C_3 e^{\sqrt{-k} x}+ C_4 e^{-\sqrt{-k} x} =C_3 e^{i\sqrt{k} x}+ C_4 e^{-i\sqrt{k} x} \qquad \text{(k<0)}
\end{equation}
\begin{equation}
f(x)=C_5 x + C_6=0
\end{equation}
$k$, $C_{1\dots 6}$は, 任意定数
[解き方の手順]
特性方程式を用いて解く.
定数係数の2階線形常微分方程式を次のように表す.
\[
a_1 \frac{d^2}{dx^2}f(t) +a_2\frac{d}{dx}f(t)+a_3f(t)=0
\]
このとき, 特性方程式は,
\[
a_1 \lambda^2 +a_2\lambda +a_3=0
\]
となる. 特性方程式の解$\lambda$を用いると微分方程式の一般解$f(t)$は次のように表される.
\[
f(t)=C_1 e^{-i\omega t}+C_2 e^{i\omega t}
\]
$C_1$,$C_2$は任意定数.
分布定数回路の電圧, 電流における微分方程式の解法を例にとると,
\[
a_1=1, \\
a_2=0, \\
a_3=-\gamma^2
\]
につき,
\[
\lambda^2 -\gamma^2=0 \\
\lambda=\mp\gamma
\]
ゆえに, $V_1$,$V_2$を任意定数として,
\[
V(z)=V_1 e^{-\gamma z}+V_2 e^{\gamma z}.
\]
$\gamma$は,
\begin{equation}
\gamma=\alpha + j\beta=\sqrt{Z_s Y_p}=\sqrt{(R+ j\omega L)(G+ j\omega C)}
\end{equation}
であり, 虚数$j$を含む伝搬定数という.
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