物理のノート
公式類
畳み込み積分（たたみ込み, 合成積, 接合積, Convolution ...）
フーリエ変換
関数$f_1(t)$, $f_2(t)$のフーリエ変換をそれぞれ$F_1(\omega)$, $F_2(\omega)$とする.
\[
f_1(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F_1(\omega)e^{-i\omega t} d \omega
\]
\[
f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F_2(\omega)e^{-i\omega t} d \omega
\]
ここで,記号$*$を用いて「畳み込み（たたみこみ：convolution）」または, 合成積, 接合積などと呼ばれる積分を定義する.
\[
f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)f_2(t-x) dx
\]
たたみこみ積分をフーリエ変換する.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \left[f_1(t)*f_2(t) \right]e^{i\omega t} dt=\int_{-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)f_2(t-x)dx \right] e^{i\omega t} dt\\
=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)\left[f_2(t-x) e^{i\omega t}dt \right] dx \\
=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)\left[f_2(t-x) e^{i\omega (t-x)} dt \right] e^{i\omega x}dx \\
=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x) e^{i\omega x} F_2(\omega) dx \\
=F_1(\omega) F_2(\omega)
\]
たたみこみ積分$f_1(t)*f_2(t)$のフーリエ変換$\mathcal{F} \left[f_1(t)*f_2(t) \right]$は, $f_1(t)$, $f_2(t)$の各フーリエ変換$F_1(\omega)$, $F_2(\omega)$の積$F_1(\omega) F_2(\omega) $に等しい.
すなわち,
\[
\mathcal{F} \left[f_1(t)*f_2(t) \right]=F_1(\omega) F_2(\omega)
\]
これを時間的たたみこみ定理と呼ぶ.[>>>非周期関数のフーリエ変換]
逆に,
\[
\mathcal{F}^{-1} \left[F_1(\omega) \right]= f_1(t) , \\
\mathcal{F}^{-1} \left[F_2(\omega) \right]= f_2(t) ,
\]
とすると, $F_1(\omega)$*$F_2(\omega)$の逆変換は
\[
\mathcal{F}^{-1} \left[F_1(\omega)*F_2(\omega) \right]= 2\pi f_1(t)f_2(t) , \\
\mathcal{F} \left[f_1(t)f_2(t) \right]= \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega) \\
=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_1(y)*F_2(\omega-y)dy
\]
これを周波数たたみこみ定理と呼ぶ.[>>>非周期関数のフーリエ変換]
ラプラス変換
フーリエ変換の時と同様に,記号$*$を用いて, たたみこみ（convolution）, 合成積, 接合積などと呼ばれる積分を定義する.
\[
f_1(t)*f_2(t)=\int_{0}^{\infty} f_1(t-\xi)f_2(\xi) d\xi
\]
$\xi$:xi
ラプラス変換における積分の下限は, （フーリエ変換と異なり） 初期値$0$から始まる.[>>>ラプラス変換]
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