物理のノート
波動関数>アンテナと無線通信（巨視的）>一次元の座標（あるいは二次元平面）と時間
電磁波（平面波）の記述方法
領域内に波源が存在しない場合
一方向成分のみを持つ波動方程式の一般解
波源から放射された電磁波は,放射源を中心に球面状に伝搬する球面波と見なせる.
しかし,波源から十分遠方に離れた球面波は,振幅と位相が一定の波と近似することができる.これは概念上, 平面波と呼ばれる.平面波は, 電流のような波源のない電磁波と見なす.
直角座標（直交座標系）において, 進行方向が$z$軸に沿って進む電場（電界）の横波（座標に関する独立変数が1つ, つまり1次元の場合）を考える.3次元ベクトルではなく,スカラー波動方程式として扱える.
なお,磁場（磁界）$H_y$とは直交する.さてこの平面波$E_x$の波動方程式（波動関数）$\Psi(x, t)$は, 次のように表される.
\begin{equation}
\Psi(x, t)=E_x=E_0 e^{j(-kz+wt)}\qquad
\end{equation}
ここで$k$は波数で, 伝搬定数$\gamma$との間に,
\begin{equation}
\gamma=jk=j(\beta-j\alpha)=\alpha + j\beta
\end{equation}
と定義する（$\alpha$は減衰定数.真空中であれば,$\alpha=0$.$\beta$は位相定数）.
(1)式の導出を考える.
ヘルムホルツ方程式より
\begin{equation}
\nabla^2\pmb E -\gamma^2\pmb E =0 \qquad
\end{equation}
前述した通り, 直角座標における, $z$軸に沿って進行する平面波を考える. 電場の振幅が生じる方向を$x$軸（$zx$平面）, 磁場の振幅の生じる方向を$y$軸（$yz$平面）と見なす.
直角座標において$E_x$のみが存在するとき,
\begin{equation}
\nabla^2 \pmb E=\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{equation}
となる.
ただし, 上記の平面波において
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}=0
\end{equation}
これより,
\begin{equation}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}+\gamma^{2}E_x=0 \qquad
\end{equation}
上のスカラー波動方程式を定数係数の線形常微分方程式とみなして, 特性方程式（補助方程式）から一般解を得る（>>>2階線形常微分方程式）.
\begin{equation}
E_x=E_{1}e^{j(-kz+wt)}+E_{2}e^{j(kz+wt)}\qquad
\end{equation}
右辺の第1項は$z$軸を正の方向に進む進行波, 第2項は逆に進む反射波を表す（$E_{0\dots n}$は任意定数）.(1)式は,進行波のみを考えた場合を表す.
[コラム]波数$k$と位相定数$\beta$
真空中かつ,媒質が無損失ならば,波数$k=\beta$（実数）となる.
したがって,波動方程式における$e$の指数$\mp kz+wt$は$C\text{(一定)}$となる.この式を次にように変形する.
\begin{equation}
z=\mp \frac{C-wt}{\beta}
\end{equation}
一方, 伝搬速度$v(v\geq 0)$は次式で表される.(8)式と併せて整理する.
\begin{equation}
v=\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \mp \frac{C-wt}{\beta} \right)=\frac{\omega}{\beta}
\end{equation}
$v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$より,
\begin{equation}
k=\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}
\end{equation}
[>>>(1)導波管内の電磁波の分布>(1)-1 TEモード]
領域内に波源が存在する場合
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